mình làm đến đoạn cuối rồi ko biết làm thế nào

Question

cho x,y,z,t

$>$ 0 thỏa

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=2.$
Tìm GTNN của P=

$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+t^{2}}+\frac{t^{3}}{t^{2}+x^{2}}$

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Theo Cauchy-Schwarz

$2=\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \geq \frac{16}{x+y+z+t}$

$\Rightarrow x+y+z+t \geq 8$

$\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}$

Theo BĐT Cauchy:

$x^2+y^2\geq2xy$

$\Rightarrow \frac{xy^2}{x^2+y^2}\leq\frac{xy^2}{2xy}=\frac{y}{2}$

Tương tự với

$y,z,t$ , ta có :

$\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+t^2}+\frac{t^3}{t^2+x^2}=(x-\frac{xy^2}{x^2+y^2})+(y-\frac{yz^2}{y^2+z^2})+(z-\frac{zt^2}{z^2+t^2})+(t-\frac{tx^2}{t^2+x^2})\geq x-\frac{y}{2}+y-\frac{z}{2}+z-\frac{t}{2}+t-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}+\frac{t}{2}\geq4$

Dấu

$"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow x=y=z=t=2$

lịch sử