Đặt $x=\frac{u}{2}-\frac{1}{2u} , u\in [1,1+\sqrt2]$$\sqrt{x^2+1}=\frac{u}{2}+\frac{1}{2u} , dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2u^2}$
$\int\limits_{0}^{1}\sqrt{x^2+1}dx=\int\limits_{1}^{1+\sqrt2}(\frac{u}{2}+\frac{1}{2u})(\frac{1}{2}+\frac{1}{2u^2})du$
$=\frac{1}{4}\int\limits_{1}^{1+\sqrt2}(u+\frac{2}{u}+\frac{1}{u^3})du$
$=\frac{1}{4}(\frac{u^2}{2}+2lnu-\frac{1}{2u^2})|_1^{1+\sqrt2}$
$=\frac{1}{8}((1+\sqrt2)^2-\frac{1}{(1+\sqrt2)^2})+\frac{1}{2}ln(1+\sqrt2)$
$=\frac{4+3\sqrt2}{6+4\sqrt2}+\frac{1}{2}ln(1+\sqrt2)$