Phương trình được viết lại:$\sqrt[3]{162x^3+2}-2=\sqrt{27x^2-9x+1}-1$
Thẫy rõ: $(\sqrt[3]{162x^3+2})^{2}+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4>0$ (do với mọi a,b ta luôn có $a^2+b^2+ab\geq 0$ ở đây dấu bằng không xảy ra)
và $\sqrt{27x^2-9x+1}+1>0$
nên phương trình có thể viết lại thành
$\frac{(\sqrt[3]{162x^3+2}-2)[(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4]}{(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4}$$=\frac{(\sqrt{27x^2-9x+1}-1)(\sqrt{27x^2-9x+1}+1)}{\sqrt{27x^2-9x+1}+1}$
$\Leftrightarrow \frac{6(3x-1)(9x^2+3x+1)}{(\sqrt[3]{162x^3+2}^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+2}=\frac{(3x-1)9x}{\sqrt{27x^2-9x+1}+1}$
$\Leftrightarrow (3x-1)(\frac{18x^2+6x+2}{\sqrt[3]{162x^3+2}^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4}-\frac{3x}{\sqrt{27x^2-9x+1}+1})=0$
Từ đây suy ra $ x=\frac{1}{3}$ là nghiệm duy nhất của phương trình vì $\frac{18x^2+6x+2}{(\sqrt[3]{162x^3+2})^2+2\sqrt[3]{162x^3+2}+4}-\frac{3x}{\sqrt{27x^2-9x+1}+1}=0$ vô nghiệm