Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức(2).

Question

Chứng minh rằng với $0<a<b<\dfrac{\pi}{2},$ ta luôn có: $$a\tan b>b\tan a$$

Xusint · Answer 1 · 7/21/2013 10:48:12 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Do điều kiện bài toán nên ta đưa về: $\dfrac{\tan a}{a} < \dfrac{\tan b}{b}$

Xét hàm $f(x) = \dfrac{\tan x }{x}, \ x \in \left(0,\ \dfrac{\pi}{2}\right)$

$f'(x) = \dfrac{x - \sin x \cos x}{x^2 \cos^2 x}$

Xét $g(x) = x - \sin x \cos x,\ g'(x) = 1 - \cos 2x \ge 0$

Vậy $g(x)$ đồng biến $g(x) > g(0) = 0 \Rightarrow f'(x) > 0$ hay hàm $f(x)$ đồng biến

Suy ra dpcm

lịch sử

Sửa 21-07-13 10:48 PM

Xusint
1K 1 7

280K 393K

Trả lời 21-07-13 10:43 PM

Dép Lê Con Nhà Quê
1

864K 224K

Trần Nhật Tân · Answer 2 · 7/21/2013 10:38:24 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

BĐT $\Leftrightarrow \frac{\tan b}{b}>\frac{\tan a}{a}\Leftrightarrow f(b) >f(a)$, trong đó $f(x)=\frac{\tan x}{x}, \quad x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Ta có : $f'(x) = \frac{\dfrac{x}{\cos^2x}-\tan x}{x^2}=\frac{x-\sin x \cos x}{x^2\cos^2 x}=\frac{2x-\sin 2x}{2x^2\cos^2 x}$.
Mặt khác ta cũng sẽ chứng minh $g(x) =2x-\sin 2x>0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Thật vậy, $g'(x)=2-2\cos 2x >0 , \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow g(x)$ là hàm đồng biến
$\Rightarrow g(x)>g(0)=0$.
Suy ra $f'(x)>0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow f(x)$ là hàm đồng biến
$\Rightarrow f(b) >f(a)$.

Trả lời 21-07-13 10:38 PM

Trần Nhật Tân
31

856K 2M