CM một số bất đẳng thức trong tam giác

Question

$1)\sin A+\sin B+\sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$2)\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ ABC là tam giác nhọn

$3)\tan A+\tan B+\tan C\geq 3\sqrt{3}$ ABC là tam giác nhọn

$4)\cot A+\cot B+\cot C\geq \sqrt{3}$ ABC là tam giác nhọn

$5)\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\leq \frac{9}{4}$

$6)\sin A\sin B\sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$7)\cos A\cos B\cos C\leq \frac{1}{8}$

$8)\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$

$9)\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$10)\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 1 · 7/23/2013 9:45:38 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Câu 6)

Lấy (8) nhân (9)=> (6)

Trả lời 23-07-13 09:45 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 2 · 7/23/2013 9:43:47 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Lấy

$\frac{(8)}{(9)}\Rightarrow (10)$

Trả lời 23-07-13 09:43 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 3 · 7/23/2013 9:42:40 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Câu 9)

$\sin A+\sin B+\sin C=4VT(9)\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$ đpcm

Trả lời 23-07-13 09:42 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 4 · 7/23/2013 9:41:25 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Cách làm tương tự câu 7 ta cm được câu 8

Trả lời 23-07-13 09:41 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 5 · 7/23/2013 9:40:24 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Ta có

$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2+2\cos A\cos B\cos C$

Vậy từ câu

$7\Rightarrow 5$

Trả lời 23-07-13 09:40 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 6 · 7/23/2013 9:38:49 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Đặt

$k=\cos A\cos B\cos C$

$\Leftrightarrow 2k=(\cos (A-B)-\cos C)\cos C$

$\Leftrightarrow \cos^2C-2\cos C\cos(A-B)+2k=0 (*)$

$(*)$ có nghiệm nên

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow \cos^2(A-B)\geq 8k\Leftrightarrow 8k\leq \cos^2(A-B)\leq 1\Rightarrow$ đpcm

Trả lời 23-07-13 09:38 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 7 · 7/23/2013 9:34:01 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Xét

$f(x)=\cot x, x\in (0;\frac{\pi}{2})$

$+f'(x)=-\frac{1}{\sin^2x}$

$+f''(x)=\frac{\sin 2x}{\sin^4x}>0\Rightarrow f(x)$ lõm trên

$(0;\frac{\pi}{2})$

Theo Jensen => đpcm

Trả lời 23-07-13 09:34 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 8 · 7/23/2013 9:35:05 PM

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Xét

$f(x)=\tan x, x\in (0;\frac{\pi}{2})$

$+f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}$

$+f''(x)=\frac{\sin 2x}{cos^4x}>0\Rightarrow f(x)$ lõm trên

$(0;\frac{\pi}{2})$

Theo Jensen ta có được đpcm

lịch sử

Sửa 23-07-13 09:35 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

Trả lời 23-07-13 09:28 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 9 · 7/23/2013 9:24:42 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Tương tự: Xét

$f(x)=\cos x, 0<x<\frac{\pi}{2}$

$+f'(x)=-\sin x$

$+f''(x)=-\cos x<0\Rightarrow f(x)$ lồi trên

$(0;\frac{\pi}{2})$

Cũng theo Jensen:

$f(A)+f(B)+f(C)\leq 3f(\frac{A+B+C}{2})$

$\Leftrightarrow \cos A+\cos B+\cos C\leq 3\cos\frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}$ (đpcm)

Trả lời 23-07-13 09:24 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 10 · 7/23/2013 9:19:36 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

1)Xét

$f(x)=\sin x, 0<x<\pi$

$+f'(x)=\cos x$

$+f''(x)=-\sin x<0\Rightarrow f(x)$ lồi trên

$(0;\pi)$

Theo Jensen:

$f(A)+f(B)+f(C)\leq 3f(\frac{A+B+C}{3})$

$\Leftrightarrow \sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ đpcm

Trả lời 23-07-13 09:19 PM

♂Vitamin_Tờ♫
61 1

306K 525K

Hỏi	23-07-13 09:14 PM
Lượt xem	7046
Hoạt động	23-07-13 09:45 PM

CM một số bất đẳng thức trong tam giác

10 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

CM một số bất đẳng thức trong tam giác

10 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan