Bất đẳng thức tích phân (3)

Question

CMR:

$\int\limits_{0}^{1}e^{\frac{1}{1+x^2}}dx>\frac{4+\pi}{4}$

score 0 · Answer 1

Bổ đề 1:

$e^x>1+x,\forall x>0$ , chứng minh bằng đạo hàm.

Bổ đề 2:

$I=\int\limits_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$

Thật vậy, đặt

$x=\tan t, t\in[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]$

Suy ra:

$dx=(1+\tan^2t)dt$

Đổi cận:

$x=0 \Rightarrow t=0$

$x=1 \Rightarrow t=\dfrac{\pi}{4}$

Từ đó:

$I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1+\tan^2t}{1+\tan^2t}dt=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}dt=\dfrac{\pi}{4}$

Quay lại bài toán ta có:

$e^{\frac{1}{1+x^2}}>1+\dfrac{1}{1+x^2}$

$\Rightarrow \int\limits_0^1e^{\frac{1}{1+x^2}}dx>\int\limits_0^1\left(1+\dfrac{1}{1+x^2}\right)dx=1+\dfrac{\pi}{4}$

1 Đáp án