Chung minh cho minh bai nay voi moi nguoi, giai chi tiet nha tks ^^

Question

$\cos^{3} A+\cos^{3} B+\cos^{3} C\geq\frac{3}{8}$

Ai cm được cái này hay lắm đấy.... Tui làm bài gặp cái này nhiều mà đâu tìm được min của nó. Nhìn vào thì thấy nó cũng đúng đúng.

NguyễnTốngKhánhLinh · Answer 1 · 7/27/2013 5:18:50 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Có

$cosA.cosB.cosC = cosA. \frac{1}2[cos(B-C)+cos(B+C)]$

$= \frac{1}2. cosA.[cos(B-C)-cosA] (*)$

Vì

$cos(B-C) \leq 1$

$\Rightarrow (*) \leq \frac{1}2cosA(1-cosA)$

Ap dụng BĐT cô-si

Có

$\sqrt{cosA(1-cosA)} \leq \frac{cosA+1-cosA}2 = \frac{1}2$

$\Rightarrow cosA(1-cosA) \leq (\frac{1}2)^2=\frac{1}4$

$\Rightarrow (*) \leq \frac{1}2.\frac{1}4=\frac{1}8$

Xét

$cos^3A+cos^3B+cos^3C \geq 3\sqrt[3]{cos^3A.cos^3B.cos^3C} \geq 3.\frac{1}8=\frac{3}8 (đpcm)$

Trả lời 27-07-13 05:18 PM

NguyễnTốngKhánhLinh
186 4

181K 96K

Ờ, để mình xét lại đã :) – NguyễnTốngKhánhLinh 27-07-13 08:14 PM

Ừ.. SAi rồi bạn ơi... Nó k dễ vậy đâu. Chắc là đề cho tam giác nhọn. Nhưng BĐT cuối là ngược dấu rồi. Bạn cm nó bé hơn bằng đã rồi thế vào lớn hơn bằng – ♂Vitamin_Tờ♫ 27-07-13 08:11 PM

Lời giải này sai vì 2 lý do:1. Đánh giá BĐT cuối bị ngược dấu2. Nếu tam giác ABC nhọn thì mới đc phép áp dụng BĐT Cauchy. – khangnguyenthanh 27-07-13 07:26 PM

Nếu đáp án của mình đúng thì bạn vui lòng nhấn V để chấp nhận và nhấn mũi tên để vote up hộ mình nha. Cảm ơn :) – NguyễnTốngKhánhLinh 27-07-13 05:19 PM