Tìm GTLN

Question

Cho

$x,y,a,b\in Z; x^{2}+y^{2}=1; a+b=2$ . Tìm GTLN:

$M=ax+by+ab$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 8/9/2013 12:14:28 PM

Do

$\begin{cases}x,y \in \mathbb Z \\ x^2+y^2=1 \end{cases} \implies x,y \in \{-1,0,1 \}$ .
Do vai trò của

$x,y$ như nhau, vai trò của

$a,b$ như nhau nên ta xét các trường hợp

+ Nếu

$(x,y) \in \{(0,1),(1,0) \}$ thì

$M=a+ab$ với

$a+b=2.$
Suy ra

$M=a+a(2-a)=3a-a^2=\frac{9}{4}-\left ( a-\frac{3}{2} \right )^2 \le \frac{9}{4}$

$\implies M \le 2$ , do

$M \in \mathbb Z.$

$\implies\max M=2\Leftrightarrow \begin{cases}3a-a^2=2 \\ a+b=2 \end{cases}$
Tổng quát

$\max M=2\Leftrightarrow (a,b) \in \{(1,1),(2,0),(0,2)\}$ .

+ Nếu

$(x,y) \in \{(0,-1),(-1,0) \}$ thì

$M=-a+ab$ với

$a+b=2.$
Suy ra

$M=-a+a(2-a)=a-a^2=\frac{1}{4}-\left ( a-\frac{1}{2} \right )^2 \le \frac{1}{4}$

$\implies M \le 0$ , do

$M \in \mathbb Z.$

$\implies\max M=0\Leftrightarrow \begin{cases}a-a^2=0 \\ a+b=2 \end{cases}$
Tổng quát

$\max M=0\Leftrightarrow (a,b) \in \{(1,1),(2,0),(0,2)\}$ .

Tóm lại

$\max M =2\Leftrightarrow \begin{cases}(x,y) \in \{(0,1),(1,0) \} \\ a,b) \in \{(1,1),(2,0),(0,2)\} \end{cases}$ .

1 Đáp án