giup mình bai nay nha cả nàh yêu dấu

Question

1. C/m :
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})$

64
với a+b+c=1
2 . Cho S= $a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ trong đó ad-bc=1
C/M : S

3

score 0 · Answer 1

Bài 2:

Nhận xét rằng

$(ac+bd)^2+1=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$

$= (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho

$S$ , ta được:

$S\geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+ac+bd$

$\Leftrightarrow S\geq 2\sqrt{(ac+bd)^2+1}+ac+bd (*)$
Đặt

$ac+bd=t$ , ta thấy ngay hai vế của

$(*)$ đều dương, do đó:

$S^2\geq (2\sqrt{t^2+1}+t)^2=4(1+t^2)+4t\sqrt{t^2+1}+t^2$

$=(1+t^2)+4t\sqrt{t^2+1}+4t^2+3=(\sqrt{t^2+1}+2t)^2+3\geq3$

$\Leftrightarrow S\geq \sqrt{3}$ , đpcm.

score 0 · Answer 2

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$1+\frac{1}{a}=\frac{a+1}{a}=\frac{a+a+b+c}{a}\ge\frac{4\sqrt[4]{a^2bc}}{a}$
Tương tự:

$1+\frac{1}{b}\ge\frac{4\sqrt[4]{ab^2c}}{b},1+\frac{1}{c}\ge\frac{4\sqrt[4]{abc^2}}{c}$
Suy ra:

$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\ge64$
Dấu bằng xảy ra khi:

$a=b=c=\frac{1}{3}$ .

2 Đáp án