Cực trị.

Question

$\fbox{Bài toán.}$ Cho

$0<x,\,y\leq 1$ thỏa mãn

$x+y=4xy.$ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:

$P=x^2+y^2-7xy.$

Hiện đang có hai lời giải cho hai đáp án trái chiều nhau của bài Toán trên, mong mọi người xem và phân tích giúp em là lời giải nào đúng, lời giải nào sai và sai chỗ nào ạ và sửa lại ra sao?

$\bullet$ Cách 1: Áp dụng

$AM-GM,$ ta có:

$4xy=x+y\geqslant 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\geqslant \frac{1}{4}$

Ta có $P=x^2+y^2-7xy=(x+y)^2-9xy=16(xy)^2-32xy$

Đặt $t=xy$ , $\Rightarrow t\in \left [ \frac{1}{4};1 \right ]$

$\Rightarrow P=f(t)=16t^2-9t$

$\Rightarrow f'(t)=32t-9=0\Leftrightarrow t=\frac{9}{32}$

Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta có $\left\{\begin{matrix} f(t)\geqslant f(\frac{9}{32})=\frac{-81}{64}\\f(t)\leqslant f(\frac{1}{4})=\frac{-5}{4} \end{matrix}\right.$

GTNN xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=4xy\\xy=\frac{9}{32} \end{matrix}\right.$

GTLN xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

$\bullet$ Cách 2: $x+y=4xy\,\,(xy>0)\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{x}=4\Rightarrow$ có ít nhấtm ột trong hai số nhỏ hơn hoặc bằng hai.
Giả sử: $\dfrac{1}{x}\leq2\Rightarrow x\geq\dfrac{1}{2}\Rightarrow 4x-1\neq0\Rightarrow y=\dfrac{x}{4x-1}\\\Rightarrow P=x^2+\dfrac{x^2}{(4x-1)^2}-7\times\dfrac{x^2}{4x-1}=16\left(\dfrac{x^2}{4x-1}\right)^2-9\times\dfrac{x^2}{4x-1}$
Đặt: $t=\dfrac{x^2}{4x-1}\Rightarrow P=f(t)=16t^2-9t$
Xét: $g(x)=t=\dfrac{x^2}{4x-1};\,\,x\in\left[\dfrac{1}{2};\,1\right]$
$g'(x)=\dfrac{4x^2-2x}{(4x-1)^2};\,\,g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
Kẻ bảng biến thiên ta suy ra được $\dfrac{1}{4}\leq t\leq\dfrac{1}{3}.$
Xét: $f(t)=16t^2-9t;\,\,t\in\left[\dfrac{1}{4};\,\dfrac{1}{3}\right]$
$f'(t)=32t-9;\,\,f'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{9}{32}$
$f\left(\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{5}{4};\,\,f\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{11}{9};\,\,f\left(\dfrac{9}{32}\right)=-\dfrac{81}{64}$
Vậy: $GTNN$ của $P$ là $-\dfrac{11}{9}$ tại: $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=\dfrac{1}{3} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{1}{3}\\ y=1 \end{array} \right.\end{array} \right.$
$GTLN$ của $P$ là $-\dfrac{81}{64}$ tại: $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{3}{4}\\ y=\dfrac{3}{8} \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=\dfrac{3}{8}\\ y=\dfrac{3}{4} \end{array} \right.\end{array} \right.$

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 8/16/2013 12:07:26 AM

Cách làm thứ hai là cách làm chính xác.

Lỗi sai của cách làm thứ nhất là ở chỗ khẳng định từ bảng biến thiên rằng nếu ta có

$f(t) \le f(\dfrac14)=-\dfrac54$ thì

$-\dfrac54$ là GTLN cần tìm.
Điều này là sai vì khi thực hiện vẽ bảng biến thiên, nhiều khả năng học sinh sẽ cho rằng

$\max_{[\frac{1}{4};1]} f(t) = \max \{f(\dfrac14),f(1) \}$ .

Ta có thể thấy ngay rằng

$f(1)=7 > f(\dfrac14)=-\dfrac54$ nhưng khi mà

$t=xy=1$ thì ta lại không tìm được các giá trị

$x,y$ thỏa mãn vì hệ

$\begin{cases}x+y=4 \\ xy=1\\0<x ,y\le 1 \end{cases}$ vô nghiệm. Do đó sai lầm khi kết luận rằng GTLN sẽ nhận giá trị còn lại đó là

$\max_{[\frac{1}{4};1]} f(t)= f(\dfrac14)=-\dfrac54$ .

Một lý do rất đơn giản để lý giải điều này đó là biết đâu đấy trong khoảng từ

$[\dfrac{9}{32};1]$ lại có một số

$t$ khác nữa làm cho hàm

$f$ nhận giá trị lớn hơn và ta vẫn có thể tìm ra dấu bằng. Và chính xác như vậy, số

$t=\dfrac13$ chính là số tạo ra điều đó.
Về mặt quan sát ta sẽ thấy ngay rằng

$-\dfrac{11}{9}= f(\dfrac13) > f(\dfrac14) = -\dfrac54$ , và khi

$t=\dfrac13$ thì sẽ tìm được

$x,y$ như trong phần kết luận của lời giải thứ hai. Có thể thấy rằng việc tìm ra miền xác định của

$t \in [\dfrac14;1]$ là chưa "chặt", và lời giải hai đã giải quyết được vấn đề đó với việc đưa ra khoảng

$t \in [\dfrac14;\dfrac13]$ . Tuy vậy trong phần kết luận cuối lời giải hai mà em đăng lên đây có một lỗi nhỏ về chính tả, em nên tìm và sửa nó nhé :)