Bài $1:$ Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-2x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị $(C)$ các điểm $M, N$ sao cho độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất.Bài $2:$
$a)$ Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình:$x^{2}+2008x+2009y^{2}+y=xy+2009xy^{2}+2010$
$b)$ Giả hệ phương trình:\begin{cases}1+x^{3}y^{3}=19x^{3} \\ y+xy^{2}=-6x^{2} \end{cases}
Bài $3:$ Cho tam giác $ABC$. Trên tia đối của tia $BA,CA$ lấy các điểm $E,F$(khác $B$ và $C$) theo thứ tự. Gọi $M$ là giao điểm của $BF$ và $CE$.
Chứng minh rằng:$\frac{MB}{MF}+\frac{MC}{ME}\geq\sqrt{\frac{AB.AC}{AF.AE}}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài $4:$
$a)$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$
$b)$ Đặt $f(n)=(n^{2}+n+1)^{2}+1$ với $n$ là số nguyên dương
Xét dãy số $(x_{n}):x_{n}=\frac{f(1).f(3).f(5)...f(2n-1)}{f(2).f(4).f(6)...f(2n)}$ trong đó $n$ là số nguyên dương
Tính giới hạn của dãy số $u_{n}=n^{2}.x_{n}$