Xét hàm $f(x) = \sqrt{\frac{x-\sin A}{x-\sin C}} + \sqrt{\frac{x-\sin B}{x-\sin C}} -1$
Do $A>B>C \Rightarrow \sin A > \sin B >\sin C$
Vậy $TXD: x<\sin C;\ x\ge \sin A$
$f'(x) = \dfrac{\sin A -\sin C}{2(x-\sin C)^2} \sqrt{\dfrac{x-\sin C}{x-\sin A}} + \dfrac{\sin B -\sin C}{2(x-\sin C)^2}\sqrt{\dfrac{x-\sin C}{x-\sin B}} >0 \ \forall x \in TXD$
Lập bảng biến thiên ra thấy ngay $min f(x) = \sqrt{\dfrac{\sin A-\sin B}{\sin A-\sin C}}$