Đặt $t=\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}, x \in [-1,1]$.
Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)=\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}$ trên $ [-1,1]$ ta được $0 \le t \le \sqrt 2$.
Ta có $t^2=2-2\sqrt{1-x^{4}}\Rightarrow 2\sqrt{1-x^{4}}=2-t^2$. Suy ra
$\frac{{2\sqrt{1-x^{4}}+\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}+2}=\frac{2-t^2+t}{t+2}=g(t), \quad t \in [0,\sqrt 2]$.
Lập bảng biến thiên của hàm số $g(t)=\frac{2-t^2+t}{t+2}$ trên $[0,\sqrt 2]$ ta được
$\max g(t)=1 \Leftrightarrow x=0.$
$\min g(t)=\sqrt2-1 \Leftrightarrow x=\sqrt 2.$