Đặt $t=\sqrt{x} + \sqrt{1-x}$
Khảo sát hàm $g(x)=\sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ trên $[0,1]$
$\Rightarrow 1 \le t \le \sqrt 2.$
và $t^2=1+ 2\sqrt{x-x^2}\Rightarrow \sqrt{x-x^2}=\dfrac{t^2-1}{2}$
PT đã cho $\Leftrightarrow m+1=t-\dfrac{t^2-1}{3}=f(t)$
trong đó $f'(t)=1-\dfrac{2}{3}t$ và $f'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{2}>\sqrt 2$
Vẽ bảng biến thiên của $f(t)$ với chú ý $f(1)=1, f(\sqrt 2)=\sqrt 2 -1/3$
Như vậy PT có nghiệm
$\Leftrightarrow 1 \le m+1 \le \sqrt 2-1/3\Leftrightarrow 0 \le m\le\sqrt 2-4/3.$