$\left(\sqrt{5}+2\right)^{x-1}=\left(\sqrt{5}-2\right)^{\dfrac{x-1}{x+1}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{5}+2)^{x-1} =\dfrac{1}{(\sqrt{5}+2)^{\frac{x-1}{x+1}}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{5}+2)^{(x-1) - \frac{x-1}{x+1}} =1 = (\sqrt{5}+2)^0$
$\Leftrightarrow (x-1) - \frac{x-1}{x+1} =0$
$\Leftrightarrow x= 0;\ x=1$