$y' =4x^3-4mx =0 \Rightarrow x= 0;\ x =\pm \sqrt m$
Khi đó 3 cự trị làm $A(-\sqrt m;\ 2m -m^2 -1);\ B(0;\ 2m-1);\ C(\sqrt m;\ 2m-m^2 -1)$
Dễ thấy $A;\ C$ đối xứng qua $Oy$ còn $O;\ B \in Oy$ khi đó tứ giác $OABC$ nội tiếp được 1 đường tròn thì tâm đường tròn (giả sử là $I$) phải là trung điểm $OB \Rightarrow I(0;\ \dfrac{2m-1}{2})$
Khi đó luôn có $IO = IB;\ IA = IC$ vậy để thỏa mãn ycbt thì $OI = IA$ hay $OI^2 = IC^2$
$\Leftrightarrow (\dfrac{2m-1}{2})^2 = (\sqrt m )^2 + (2m-m^2 -1 - \dfrac{2m-1}{2})^2$
$\Leftrightarrow m^4 -2m^3 +m^2 +m=0$
làm tới đây là tôi đoán bài bạn nhầm đề rồi, tuy có nghiệm $m=0$ đẹp nhưng phương trình bậc 3 kia không xử lý trọn vẹn được