Ta có : \frac{a^2}{a+2b^3} = a - \frac{2ab^3}{a+2b^3} \geq a - \frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}} = a - \frac{2b\sqrt[3]{a^2} }{3}Tương tự : \frac{b^2}{b+2c^3} \geq b - \frac{2c\sqrt[3]{b^2}}{3} ; \frac{c^2}{c+2a^3} \geq c - \frac{2a\sqrt[3]{c^2}}{3}
\Rightarrow \frac{a^2}{a+2b^3} + \frac{b^2}{b+2c^3} + \frac{c^2}{c+2a^3} \geq a+b+c - \frac{2}{3}.( b\sqrt[3]{a^2} +c\sqrt[3]{b^2} + a\sqrt[3]{b^3} )
Ta cần chứng minh : a+b+c - \frac{2}{3} . ( b\sqrt[3]{a^2} + c\sqrt[3]{b^2} + a\sqrt[3]{b^3} ) \geq 1
\Leftrightarrow 3 - \frac{2}{3} . ( b\sqrt[3]{a^2} + c\sqrt[3]{b^2} + a\sqrt[3]{b^3} ) \geq 1
\Leftrightarrow ( b\sqrt[3]{a^2} + c\sqrt[3]{b^2} + a\sqrt[3]{b^3} ) \leq 3
Ta có b\sqrt[3]{a^2} \leq \frac{b.(2a+1)}{3}
Tương tự rồi cộng lại \Rightarrow dpcm