Giúp mình vớiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii|

Question

Cho

$a,b,c$ là

$3$ số nguyên khác

$0$ thỏa mãn:

$a/b +b/c +c/a =3.$

Chứng minh rằng:

$abc$ là lập phương của

$1$ số nguyên.

score 2 · Answer 1

Từ giả thiết ta có:

$a^2c+c^2b+b^2a=3abc (1)$ .

Thật vậy, không mất tổng quát giả sử

$(a,b,c)=1$ .

Giả sử

$p$ là số nguyên tố và

$p\mid a$ hay

$a=p^ma_1$ .

Từ giả thiết ta suy ra

$a\mid c^2b \Rightarrow p\mid b$ hoặc

$p\mid c$ .

Chẳng hạn

$b=p^kb_1 \Rightarrow p\nmid c$ .

Thay vào

$(1)$ ta được:

$p^{2k+m}b^2_1a_1+p^{2m}a^2_1c+p^kc^2b_1=3p^{m+k}a_1b_1c$ .

Do đó:

$p^k\le p^{2m} \Rightarrow 2m\ge k$

và

$p^m\mid p^k \Rightarrow m\le k \Rightarrow m+k\ge 2m \Rightarrow p^{2m}\le p^k \Rightarrow k\ge2m$ .

Từ đó suy ra

$k=2m$ hay

$p^{3m}\mid abc$ . Suy ra:

$abc$ là lập phương của 1 số nguyên.

1 Đáp án