Đặt $ x = \dfrac{\pi }{2} - t $ ta có $ I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \ln \dfrac{{(1 + \cos t)^{1 + \sin t} }}{{(1 + \sin t)}}dt $
$\Rightarrow 2I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \bigg [ {\ln \dfrac{{(1 + \cos x)^{1 + \sin x} }}{{(1 + \sin x)}} + \ln \dfrac{{(1 + \sin x)^{1 + \cos x} }}{{(1 + \cos x)}}} \bigg ]dx $
$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \bigg[ {\ln \left( {(1 + \cos x)^{\sin x} .(1 + \sin x)^{\cos x} } \right)} \bigg]dx $
$ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin x.\ln (1 + \cos x)dx + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.\ln (1 + \sin x)dx} $
$ = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln (1 + \cos x)d(1 + \cos x) + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln (1 + \sin x)d(1 + \sin x)} } $
Dễ rồi đó, nó có dạng $I=\int \ln x dx$ tính từng phần là ra