1. Không mất tính tổng quát giả sử $a \ge b \ge c$
$\Rightarrow \begin{cases}a^2 \ge b^2\ge c^2 \\ b+c \le a+c \le a+b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a^2 \ge b^2\ge c^2 \\ \frac{1}{b+c} \ge \frac{1}{c+a} \ge \frac{1}{a+b} \end{cases}$.
Suy ra
$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b} \ge \frac{1}{3}(a^2 + b^2+ c^2)\left ( \frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b} \right )\ge \frac{1}{3}(a^2 + b^2+ c^2)\frac{9}{2(a+b+c)} \ge (a^2 + b^2+ c^2)\frac{3}{2\sqrt 3 \sqrt{a^2 + b^2+ c^2}} =\frac{\sqrt{3} \sqrt{a^2 + b^2+ c^2}}{2} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Trong đó đã sử dụng hai BĐT khác quen biết
$(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2)$ và
$\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}$