help me

Question

Cho x,y,z >1 và x+y+z=xyz .Tìm min P =(y-2)/x^2+(x-2)/z^2+(z-2)y^2

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 2/5/2014 11:59:36 PM

Theo giả thiết:

$\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$
Ta có:

$P=\frac{(x-1)+(y-1)}{x^2}+\frac{(y-1)+(z-1)}{y^2}+\frac{(z-1)+(x-z)}{z^2}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

$=(x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})+(y-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+(z-1)(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

$\geq \frac{2(x-1)}{xz}+\frac{2(y-1)}{xy}+\frac{2(z-1)}{yz}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

$=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2(\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz})=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2 (1)$
Mà

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 \geq 3(\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz})=3 (2)$
Từ

$(1)$ và

$(2) \Rightarrow P \geq \sqrt{3}-2$
Kết luận: Vậy

$\min P=\sqrt{3}-2 \Leftrightarrow x=y=\sqrt{3}$

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

1 Đáp án