Nhắc lại kết quả sau: tam thức bậc hai $g(t)=At^2+Bt+C$ có $\Delta \le 0 \quad \forall t$ thì $g(t) \ge 0 \quad \forall t$.
Xét $f(a,b,c)=2a^2+5b^2+c^2-2\left(ab+bc+ca\right)$.
Trước hết viết $f(a,b,c) =2a^2-2a(b+c)+5b^2+c^2-2bc$. Xem đây là PT bậc hai theo $a$. Ta có
$\Delta' =(b+c)^2-2(5b^2+c^2-2bc)=-(9b^2-6bc+c^2) =-(3b-c)^2 \le 0 \forall b,c$
Theo kết quả trên ta có ĐPCM.