Dễ tìm được điều kiện xác định $-1 \le x \le 5.$
Ta sẽ chứng minh rằng $y \ge \sqrt 2$. Thật vậy
$y \ge \sqrt 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{-x^2+3x+18} \ge \sqrt 2 +\sqrt{-x^2+4x+5}$
$\Leftrightarrow -x^2+3x+18 \ge -x^2+4x+5 +2\sqrt{-2x^2+8x+10}$
$\Leftrightarrow 11-x\ge 2\sqrt{-2x^2+8x+10}$
$\Leftrightarrow 121-22x+x^2 \ge -8x^2+32x+40$
$\Leftrightarrow 9x^2-54x+81 \ge 0$
$\Leftrightarrow 9(x-3)^2 \ge 0$, luôn đúng.
Vậy $\min y = \sqrt 2 \Leftrightarrow x=3.$