Giả sử tam giác MNP có M thuộc BC; N thuộc AB; P thuộc AC.
Với điểm M cho trước gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua AB và AC.
Thì : MN=ME;
MP=PF
⇒PMNP=EN+NP+PF≥EF
Vậy ta cần tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất.
Lại có theo tính chất đối xứng thì
AE=AF (cung bằng AM)
MACˆ=CAFˆ
EABˆ=BAMˆ
⇒EAFˆ=2BACˆ (Không đổi)
Tam giác EAF cân ở A có góc EAF không đổi nên EFmin⇔AEmin⇔AMmin
Kẻ AH vuông góc BC thì AM≥AH nên Min AM=AH khi M trùng H khi EF cắt AB,AC tại N,P. Ta dễ dàng chứng minh được N,P là chân đường cao hạ từ B,C đến AB,AC.
Vậy chu vi AMP nhỏ nhất khi có 3 điểm M,N,P là chân 3 đường cao.