Đặt z=a+bi,a,b∈R.
z+2+3iz−i=a+bi+2+3ia+bi−i=a+2+i(b+3)a+i(b−1)=(a+2+i(b+3))(a−i(b−1))(a+i(b−1))(a−i(b−1))
=a(a+2)+i[a(b+3)−(b−1)(a+2)]+(b−1)(b+3)a2+(b−1)2
Như vậy để z+2+3iz−i là số thuần ảo ⇔a(a+2)+(b−1)(b+3)=0
⇔(a+1)2+(b+1)2=5.
Tập hợp là đường tròn (chỉ tính biên) (x+1)2+(y+1)2=5.