bài tập giới hạn

Question

1)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+4x)-1}{x}$

2)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x}\sqrt[3]{1+3x}\sqrt[4]{1+4x}-1}{x}$

3)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{(x^2+2014)\sqrt[7]{1-2x}-2014}{x}$

cách làm bài 1,2 giống nhau nên mn jup mình 1 trong 2 bài thôi cũng được, cám ơn mn nhiều :)

uk vk, m` dag nghi cach khac nua~ de no lam duok cau duoi lun y' :)

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 3/17/2014 7:07:16 AM

1. Trước hết nêu ra một đẳng thức sau : Với mọi biểu thức

$A_1,A_2,A_3,A_4$ ta có

$A_1A_2A_3A_4-1=A_1A_2A_3(A_4-1)+A_1A_2(A_3-1)+A_1(A_2-1)+(A_1-1)$

Để chứng minh điều này bạn chỉ cần khai triển và rút gọn vế phải.

Bây giờ đặt

$A_1=1+x, A_2=1+2x,A_3=1+3x,A_4=1+4x$ . Ta có

$L= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+4x) -1 }{x}= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\dfrac{A_1A_2A_3A_4-1 }{x}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (A_1A_2A_3.\dfrac{A_4-1 }{x} \right )+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (A_1A_2.\dfrac{A_3-1 }{x} \right )+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (A_1.\dfrac{A_2-1 }{x} \right )+ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_1-1 }{x} \right )$

Chú ý rằng

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_1=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_2=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_3=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}A_4=1$

và

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_1-1 }{x} \right )=1, \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_2-1 }{x} \right )=2, \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_3-1 }{x} \right )=3, \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\left (\dfrac{A_4-1 }{x} \right )=4$ .

Vậy

$L=4+3+2+1=10.$

$\textbf{Chú ý} :$ Bài toán trên còn được tổng quát cho

$n$ số.

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks!