gt\Rightarrow a_{n+1}=\frac{6a_{n}}{16+a_{n}}\Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{16+a_{n}}{6a_{n}}=\frac{8}{3}\times \frac{1}{a_{n}} +\frac{1}{6}đặt \frac{1}{a_{n+1}}=u_{n+1}\Rightarrow \frac{8}{3}\times u_{n} +\frac{1}{6}
\Leftrightarrow u_{n+1} +\frac{1}{10} =\frac{8}{3}\times (u_{n} +\frac{1}{10})
đặt v_{n+1}= u_{n+1}+\frac{1}{10} \Rightarrow v_{n+1}=\frac{8}{3}\times v_{n}
\Rightarrow (v_{n+1}) là CSN với v_{1}=\frac{1}{5}, q= \frac{8}{3}
\Rightarrow v_{n+1}=\frac{1}{5}\times (\frac{8}{3})^{n}
từ đó ta tìm dược \frac{1}{1_{an+1} rồi áp dụng số hạng tổng quat của cấp số nhân để tinh tổng
S_{2012}=\frac{-1006}{5} + \frac{\(frac{8}{3})^{2012} - 1)\times 3}{25} .