1. + Với $y=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow P=4.$
+ với $y \ne 0$. Ta có
$\dfrac{P}4 = \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-xy}=\frac{t^2+1}{t^2-t+1}$ với $t=\frac{x}{y} \in \mathbb R.$
$\Rightarrow P(t^2-t+1)=4(t^2+1)$
$\Rightarrow t^2(P-4)-Pt+P-4=0$
Để $P$ đạt GTLN, GTNN thì $\Delta_t \ge 0\Leftrightarrow P^2-4(P-4)^2 \ge 0\Leftrightarrow \frac83 \le P \le 8.$
Từ đó tìm được GTLN và GTNN và $x,y.$