Đặt $y=\log_3(1+2x)\Rightarrow 1+2x=3^y$. Hệ tương đương với$\begin{cases}3^x=1+x+y \\ 3^y=1+2x \end{cases}\Rightarrow 3^x-3^y=-x+y\Rightarrow 3^x+x=3^y+y$.
Xét $f(t)=3^t+t$ có $f'(t)=3^t\ln 3+1>0,\forall t$ nên $f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y$
Suy ra $1+2x=3^x$. Xét $g(x)=3^x-2x-1$ có $g''(x)=3^x\ln^23>0$ nên PT $g(x)=0$ có tối đa hai nghiệm. Mặt khác $g(0)=g(1)=0$. Vậy PT có 2 nghiệm $x=0,x=1.$