P=1−y√y2+1+1−x√x2+1.
Ta sẽ chứng minh
1−t√t2+1≥115√5−125√5t,∀0<t<1(1).
Xét
f(t)=1−t√t2+1−115√5+125√5t
Ta có
f′(t)=125√5−1+t√(t2+1)3
PT f′(t)=0⇔144(t2+1)3=125(t+1)2
Xét g(t)=144(t2+1)3−125(t+1)2 với 0<t<1 thì g″ nên PT g(t)=0 có tối đa 2 nghiệm.
Ta có thể tìm được hai nghiệm đó là t_1=1/2, 0<t_2<t_1 .
Từ đó ta lập được bảng biến thiên của f(t) và thấy \min f(t)=f(\frac12)=0.
Vậy f(t) \ge 0, \forall 0<t<1. (1) được chứng minh.
Áp dụng (1) cho x,y ta được
P = \dfrac{1-y}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+1}} \ge \frac{11}{5\sqrt 5}-\frac{12}{5\sqrt 5}y+\frac{11}{5\sqrt 5}-\frac{12}{5\sqrt 5}x=\frac{22}{5\sqrt 5}-\frac{12}{5\sqrt 5}=\frac{2}{\sqrt 5}.
Vậy \min P = \frac{2}{\sqrt 5}. Đạt được \Leftrightarrow x=y=\frac12.