$$P=\dfrac{1-y}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+1}}$$.
Ta sẽ chứng minh
$$\dfrac{1-t}{\sqrt{t^2+1}} \ge \frac{11}{5\sqrt 5}-\frac{12}{5\sqrt 5}t, \forall 0<t<1\quad (1).$$
Xét
$f(t)=\dfrac{1-t}{\sqrt{t^2+1}} - \frac{11}{5\sqrt 5}+\frac{12}{5\sqrt 5}t$
Ta có
$f'(t)=\frac{12}{5\sqrt 5}-\dfrac{1+t}{\sqrt{(t^2+1)^3}}$
PT $f'(t)=0\Leftrightarrow 144(t^2+1)^3=125(t+1)^2$
Xét $g(t)=144(t^2+1)^3-125(t+1)^2$ với $0<t<1$ thì $g''(t)=4320t^4+5184t^2+614>0$ nên PT $g(t)=0$ có tối đa 2 nghiệm.
Ta có thể tìm được hai nghiệm đó là $t_1=1/2, 0<t_2<t_1 $.
Từ đó ta lập được bảng biến thiên của $f(t)$ và thấy $\min f(t)=f(\frac12)=0$.
Vậy $f(t) \ge 0, \forall 0<t<1$. (1) được chứng minh.
Áp dụng (1) cho $x,y$ ta được
$P = \dfrac{1-y}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+1}} \ge \frac{11}{5\sqrt 5}-\frac{12}{5\sqrt 5}y+\frac{11}{5\sqrt 5}-\frac{12}{5\sqrt 5}x=\frac{22}{5\sqrt 5}-\frac{12}{5\sqrt 5}=\frac{2}{\sqrt 5}.$
Vậy $\min P = \frac{2}{\sqrt 5}.$ Đạt được $\Leftrightarrow x=y=\frac12.$