do vai trò a,b,c bình đẳng, nên ko làm mất tính tổng quát, giải sử a≥b≥c (*)Từ bpt 3 ta thấy, hoặc là a,b,c đều là số dương (điều cần chứng minh)
hoặc là 2 trong 3 số đó là số dương, và số còn lại là âm, (ta chưng minh điều này ko thể xảy ra)
Thật vậy, theo giải thiết ở (*) kết hợp với bpt (1) thì 2 số âm là b<0,c<0(a>−(b+c))
đặt b′=−b≥0,c′=−c≥0→a>b′+c′ (**)
Như vậy ta có ab+ac+bc=a(b+c)+bc=−a(b′+c′)+b′c′<−(b′+c′)2+b′c′=−(b′2+b′c′+c′2)<0 (vô lý) trái với bpt 2
Vậy ko thể tồn tại 2 trong 3 số là âm được, vậy 3 số đã cho phải là dương