$\frac{\sqrt[3]{\sin^3x-\sin x}}{\sin x}\cot x =\frac{\sin x\sqrt[3]{1-\frac{1}{\sin^2x}}}{\sin x}\cot x $
$\sqrt[3]{-\cot^2x}\cot x= -\cot^{5/3} x$
Vậy
$\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{\sin^{3}x-\sin x}}{\sin x}.\cot xdx.$
$=-\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi}{2}}\cot ^{5/3}xdx$
Đặt $\sqrt[3]{\cot x} = t \to \frac{-dx}{\sin^2x} = dt \to dx = -(1+t^2)dt$
Cận thì bạn tự đổi nhé
$=-\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi}{2}}\cot ^{5/3}xdx$
$=\int\limits_{...}^{...}t^5(1+t^2)dx$
$=\int\limits_{...}^{...}(t^5+t^7)dx$
đến đây thì đơn giản rồi bạn tự tính tiếp