Đề thi HSG(2)

Question

1, Giải hệ phương trình:

a, $\begin{cases}x^2+y^2+xy=1\\x^3+y^3=x+3y\end{cases}$

b, $\begin{cases}x^3+y^3=1\\x^5+y^5=x^2+y^2\end{cases}$

2, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $y^2=-2(x^6-x^3y-32)$

3, Cho các số dương a,b,c thay đổi và thỏa mãn: $a+b+c=4$

CMR: $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}>4$

4, Cho PT: $\dfrac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{x}}}+\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$

a, Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa

b, Giải phương trình

thanhloan161 · Answer 1 · 8/27/2014 10:02:11 AM

3,Do a,b,c>0 và từ giả thiết ta có: $a+b<a+b+c=4\Leftrightarrow \sqrt{a+b}<2\Rightarrow a+b\leq 2\sqrt{a+b}(1)$

Hoàn toàn tương tự ta cũng có: $b+c<2\sqrt{b+c} (2), c+a<2\sqrt{c+a}(3)$

Cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta có: $4=2(a+b+c)\leq 2(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})$ (đpcm)

Trả lời 27-08-14 10:02 AM

thanhloan161
1

20K 2K

có vđ r kìa bạn – WhjteShadow 27-08-14 10:07 AM

WhjteShadow · Answer 2 · 8/26/2014 5:05:34 PM

1.a) Từ pt 2 của hệ ta có $(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)=x+3y$

$\Leftrightarrow (x+y)(x^{2}+y^{2}+xy-2xy)=x+3y$(3)

Theo pt (1) ta có $x^{2}+y^{2}+xy=1$

Khi đó $(3)\Leftrightarrow (x+y)(1-2xy)=x+3y$

$\Leftrightarrow y+xy(x+y)=0$

$\Leftrightarrow y(1+x^{2}+xy)=0$

Ta đc y = 0 , $x^{2}+xy=-1$

Nếu $x^{2}+xy=-1$ thì từ pt 1 ta dc $y^{2}=2$

Đến đây coi như xong

Trả lời 26-08-14 05:05 PM

WhjteShadow
1

134K 97K

WhjteShadow · Answer 3 · 8/26/2014 4:02:40 PM

1.b Từ pt (2) của hệ ta được $x^{2}(1-x^{3})+y^{2}(1-y^{3})=0$

Theo PT 1 ta được $1-x^{3}=y^3,1-y^{3}=x^{3}$

$\Rightarrow x^{2}y^{3}+y^{2}x^{3}=0 \Leftrightarrow x^{2}y^{2}(x+y)=0$

Từ đó ta được x=0 ,y=0 ,y=-x

Nếu y=-x thì $x^{3}+y^{3}=0$ trái vs pt (1)

Với x=0 thì y=1 với y=0 thì x=1

Trả lời 26-08-14 04:02 PM

WhjteShadow
1

134K 97K

3 Đáp án