Đạo hàm.

Question

Tính đạo hàm cấp

$2014$ của hàm số

$y=\sin x\sin2x\sin3x$ tại

$x=0$

score 0 · Answer 1

Trước khi làm bài này, bạn cần biết một số công thức tổng quát của đạo hàm

$[f(x)g(x)]^{(n)} =\sum_{i=0}{n}C_n^if^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)$

$\sin^n(ax)= a^n\sin(ax+n\frac{\pi}{2})$ (a là hằng số)

$\coṣ^n(ax) =a^n\cos^n(ax+n\frac{\pi}{2})$

$\sin x\sin 2x\sin 3x =\frac{1}{4}(\sin 2x+\sin 4x -\sin 6x)$

từ đó ta có

$I = (\sin x\sin 2x\sin 3x)^{(2014)} =\frac{1}{4}(\sin 2x+\sin 4x -\sin 6x)^{(2014)}$

$=\frac{1}{4}(2^{2014}\sin (2x+2014\frac{\pi}{2})+4^{2014}\sin (4x+2014\frac{\pi}{2})-6^{2014}\sin (6x+2014\frac{\pi}{2}))$

$=\frac{1}{4}(2^{2014}\sin (2x+\pi)+3^{2014}\sin (4x+\pi)-6^{2014}\sin (6x+\pi))$

khi

$x=0$ thì

$I = 0$

bạn có thể áp dụng cách khác bằng cách

$f(x) = \sin x\sin 2x; g(x)=\sin 3x$

$(\sin x\sin 2x\sin 3x)^{(2014)} = \sum_{i=0}^nC_n^i(\sin x\sin 2x)^{(i)}(\sin 3x)^{(n-i)}$

$=\sum_{i=0}^nC_n^i\sum_{j=0}^iC_i^j(\sin x)^{(j)}(\sin 2x)^{(i-j)}(\sin 3x)^{(n-i)}$

Rồi bạn biến đổi cái này cũng tính ra

$I=0$ khi

$x=0$

Cách này hơi dài cần một chút tiểu xảo thì mới ra được

1 Đáp án