Áp dụng BĐT Cauchy cho 2011 số, ta có:
$x^{2011}+x^{2011}+2009\ge2011\sqrt[2011]{x^{2011}.x^{2011}.1^{2009}}=2011x^2$
Tương tự: $2y^{2011}+2009\ge2011y^2;2z^{2011}+2009\ge2011z^2$.
Từ đó ta có: $2011(x^2+y^2+z^2)\le2(x^{2011}+y^{2011}+z^{2011})+3.2009=6033$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le 3$
$\max M=3 \Leftrightarrow x=y=z=1$