Mình nghĩ đề bài như sau:Cho $a^2+b^2+c^2=12$ Min F=$\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^3}}$Có $\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}=\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1-a+a^2)}}\geq \frac{2}{(1+a)(1-a+a^2)}=\frac{2}{1+a^2}$(BĐT Cô si ở mẫu)
Tương tự ta có $\frac{1}{\sqrt{1+b^3}}\geq \frac{2}{1+b^2},\frac{1}{\sqrt{1+c^3}}\geq \frac{2}{1+c^2}$
$\Rightarrow F \geq \frac{2}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}+\frac{2}{1+c^2}$
Ta sẽ đi cm $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{} (1+a^2)(1+b^2)\geq \frac{1}{2}(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)$
$\Leftrightarrow 8+2(a^2+b^2+c^2)\geq\frac{1}{2}a^2b^2c^2$
$\Leftrightarrow a^2b^2c^2\leq 64$
Do $a^2+b^2+c^2\geq3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \Rightarrow a^2b^2c^2\leq64(đúng)$
Vậy min F=1 khi $a=b=c=2$