Ta có:
$P=\sin A+\sin B+\sqrt6\sin C$
$=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}+\sqrt6\sin C$
$=2\cos\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}+\sqrt6\sin C$
$\le2\cos\dfrac{C}{2}+\sqrt6\sin C$
Khảo sát hàm số: $f(x)=2\cos\dfrac{x}{2}+\sqrt6\sin x,x\in(0;\pi)$
$f'(x)=-\sin\dfrac{x}{2}+\sqrt6\cos x=-2\sqrt6\sin^2\dfrac{x}{2}-\sin\dfrac{x}{2}+\sqrt6$
$f'(x)=0 \Leftrightarrow \sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt6}{4}=\sin\dfrac{\alpha}{2}$, với $\alpha=2\arcsin\dfrac{\sqrt6}{4}$.
Lập bảng biến thiên, suy ra: $f(x)\le f(\alpha)=\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$
Vậy $P\le\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{array}{l}A=B\\C=2\arcsin\dfrac{\sqrt6}{4}\end{array}\right.$