Bất đẳng thức

Question

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=6.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}\geq \frac{3}{2}.$

WhjteShadow · Answer 1 · 10/4/2014 6:41:11 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

http://toanlyhoa.net/wp-content/uploads/2014/07/BAT-DANG-THUC-CAUCHY-SCHAWRZ-DANG-ENGEL.pdf

Trả lời 04-10-14 06:41 PM

WhjteShadow
1

134K 97K

thank you chị nhiều – a ku 05-10-14 04:29 PM

đây nhé! – WhjteShadow 04-10-14 06:41 PM

WhjteShadow · Answer 2 · 9/30/2014 6:24:29 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

$A=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}=\frac{12}{3.\sqrt[3]{8.8.(a+3b)}}+\frac{12}{3.\sqrt[3]{8.8.(b+3c)}}+\frac{12}{3.\sqrt[3]{8.8(c+3a)}}$

Theo Cosi 3 số:$A\geq \frac{12}{16+a+3b}+\frac{12}{16+b+3c}+\frac{12}{16+c+3a}$

$\Rightarrow A\geq \frac{12^2}{12(16+a+3b)}+\frac{12^2}{12(16+b+3c)}+\frac{12^2}{12(16+c+3a)}$

Theo Bđt CBS dạng Engel thì $A\geq \frac{(12+12+12)^2}{12[4(a+b+c)+48]}=\frac{3}{2}$

Dấu =xảy ra khi $a=b=c=2$

lịch sử

Sửa 30-09-14 06:24 PM

WhjteShadow
1

134K 97K

Trả lời 30-09-14 06:23 PM

WhjteShadow
1

134K 97K

tại sao chị lại nghĩ ra việc biến tử số thành 12 rồi 12^2 vậy ạ – a ku 05-10-14 09:58 PM

cái trên cùng em ơi – WhjteShadow 04-10-14 06:41 PM

em ko vào dc cái link ở dưới – a ku 04-10-14 06:35 PM

em đọc thêm tại: http://toanlyhoa.net/wp-content/uploads/2014/07/BAT-DANG-THUC-CAUCHY-SCHAWRZ-DANG-ENGEL.pdf – WhjteShadow 02-10-14 05:11 PM

cái này là hệ quả của Cauchy-Schwarz – WhjteShadow 02-10-14 05:09 PM

CBS là Cauchy-Bunhia-Schwarz – WhjteShadow 02-10-14 05:07 PM

chứng minh cho em bdt cosi dạng engel vs – a ku 01-10-14 09:57 PM

score 3 · Answer 3

Ta có:

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$

$=\dfrac{12}{3\sqrt[3]{8.8.(a+3b)}}+\dfrac{12}{3\sqrt[3]{8.8.(b+3c)}}+\dfrac{12}{3\sqrt[3]{8.8.(c+3a)}}$

$\ge\dfrac{12}{a+3b+16}+\dfrac{12}{b+3c+16}+\dfrac{12}{c+3a+16}$

$=\dfrac{12}{a+3b+16}+\dfrac{a+3b+16}{48}+\dfrac{12}{b+3c+16}+\dfrac{b+3c+16}{48}+\dfrac{12}{c+3a+16}+\dfrac{c+3a+16}{48}-\dfrac{a+b+c}{12}-1$

$\ge2\sqrt{\dfrac{12}{a+3b+16}.\dfrac{a+3b+16}{48}}+2\sqrt{\dfrac{12}{b+3c+16}.\dfrac{b+3c+16}{48}}+2\sqrt{\dfrac{12}{c+3a+16}.\dfrac{c+3a+16}{48}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=2$.