Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân và được
$I=\int\limits \frac{x^2arccosx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}dx+\int\limits \frac{arccosx}{\sqrt{1-x^2}}dx=M+N$.
Đối với $M$
Đặt $u=xarccosx$ và $dv=\frac{x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}dx$.
Khi đó $du=(arccosx-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})dx$ và $v=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
Từ đó $M=\frac{xarccosx}{\sqrt{1-x^2}}-\int\limits (\frac{arccosx}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x}{1-x^2})dx$
$=\frac{xarccosx}{\sqrt{1-x^2}}-N+\int\limits \frac{x}{1-x^2}dx$
$=\frac{xarccosx}{\sqrt{1-x^2}}-N-\frac{1}{2}ln|1-x^2|+C$.
Từ đó suy ra $I=\frac{xarccosx}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{2}ln|1-x^2|+C$.