Ta có:
$a^2+b^2+c^2=1 \Rightarrow -1\le a,b,c\le 1$
$\Rightarrow a^5\le a^2;b^5\le b^2;c^5\le c^2$
$\Rightarrow a^5+b^5+c^5\le a^2+b^2+c^2=1$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)\in\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$
Từ đó suy ra: $P=a^{2012}+b^{2013}+c^{2014}=1$