Bất đẳng thức

Question

Cho a;b;c >0 và a.b.c=0. Tìm GTLN của:

$1/(\sqrt{a^5-a^2+3a.b+6}) + 1/(\sqrt{b^5-b^2+3b.c+6}) + 1/(\sqrt{c^5-c^2+3a.c+6})$

WhjteShadow · Answer 1 · 11/16/2014 1:05:44 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Cũng có thể giải ngắn gọn theo cách sau:

$a^5+a^5+1+1+1\geq 5a^2$ (BĐT AM-GM)

$\Rightarrow a^5\geq \frac{5a^2-3}{2}$ .Do vậy ta có:

$\frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}}\leq\sqrt{\frac{2}{3a^2+6ab+9}}$

Mà

$3a^2+6ab+9\geq 6(a+ab+1)$

$\Leftrightarrow P\leq \sum( \sqrt{\frac{1}{3}.\frac{1}{a+ab+1}})$

Áp dụng C-S và nhận xét:

$abc=1$ thì

$\sum \frac{1}{a+ab+1}=1$ ta được Max=1

Trả lời 16-11-14 01:05 PM

WhjteShadow
1

134K 97K

WhjteShadow · Answer 2 · 11/16/2014 11:31:09 AM

Đề:Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1.Tìm Max:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^5-a^2+3ab+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^5-b^2+3bc+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^5-c^2+3ac+6}}$

$P^2\leq 3(\sum \frac{1}{a^5-a^2+3ab+6})$

Ta có các đánh giá sau:

$a^5+a+1\geq 3a^2,a^2+1\geq 2a\Rightarrow a^5-a^2+1\geq 4a-2-a=3a-2$

$\Leftrightarrow a^5-a^2+3ab+6\geq 3(a+ab+1)$

$\Rightarrow P^2\leq \sum \frac{1}{a+ab+1}$

Ta lại có

$\frac{1}{a+ab+1}+\frac{1}{b+bc+1}+\frac{1}{c+ac+1}=\frac{bc+1}{1+bc+b}+\frac{1}{c+ac+1}=\frac{c+ac}{1+c+ac}+\frac{1}{c+ac+1}=1$ (Chú ý giả thiết abc=1)

Vậy Max=1 khi a=b=c=1

Hỏi	15-11-14 10:23 PM
Lượt xem	1061
Hoạt động	16-11-14 01:05 PM

Bất đẳng thức

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan