$P=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+1}$Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ thì $xyz=1$
TA cần tìm Max của $P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$ với $x,y,z>0,xyz=1$
Tiếp tục đặt $x=\frac{a'}{b'},y=\frac{b'}{c'},z=\frac{c'}{a'}$ thế thì ta có:
$P=\frac{b'c'}{b'^2+a'c'+b'c'}+\frac{c'a'}{c'a'+c'^2+b'a'}+\frac{a'b'}{a'^2+c'b'+a'b'}$
Ta đi CM $P\leq1$ bằng vài biến đổi thêm bớt ta có BĐT tương đương sau:
$(\frac{b'c'}{a'^2+b'c'+a'b'}+\frac{a'c'}{b'^2+b'c'+a'c'}+\frac{a'b'}{c'^2+a'c'+a'b'})+(\frac{a'^2}{a'^2+b'c'+a'b'}+\frac{b'^2}{b'^2+b'c'+a'c'}+\frac{c'^2}{c'^2+a'c'+a'b')}\geq 2$
Có $\sum \frac{b'c'}{a'^2+a'b'+b'c'}\geq \frac{(b'c'+a'c'+a'b')^2}{b'c'(a'^2+a'b'+b'c')+c'a'(b'^2+b'c'+a'c')+a'b'(c'^2+c'a'+a'b')}=1$
Cái còn lại tương tự
Vậy Max=1 khi a=b=c=1