Cho x,y,z nguyên dương. Chứng minh rằng: (x+y)/(xy+z^2) + (y+z)/(yz+x^2) + (z+x)/(zx + y^2) ≤ (1/x) +(1/y) + (1/z)

Question

Cho x,y,z nguyên dương. Chứng minh rằng:

$(x+y)/(xy+z^2) + (y+z)/(yz+x^2) + (z+x)/(zx + y^2) ≤ (1/x) +(1/y) + (1/z)$

WhjteShadow · Answer 1 · 12/5/2014 9:13:54 PM

Chuyển vế bất đẳng thức này tương đương với:

$\sum\frac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}\geq 0$

Không mất tính tổng quát giả sử rằng

$a\geq b\geq c$ thì:

$\frac{1}{c^3+abc}\geq \frac{1}{b^3+abc}$

Mình xin nêu một chút về BĐT Vornicu Schur

Xét BĐT

$x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-b)(c-a)\geq0$ sẽ đúng với mọi

$a\geq b\geq c\geq0$ nếu xảy ra 1 trong các khả năngmình sử dụng khả năng thứ nhất

$x\geq y$ hoặc

$z\geq y$

Vậy ta có đpcm vì điều trên là đúng đã cm

Sửa 05-12-14 09:13 PM

WhjteShadow
1

134K 97K

Trả lời 05-12-14 09:13 PM

WhjteShadow
1

134K 97K

chuyển vế quy đồng rồi nhóm lại,cái kí hiệu ở đầu là tổng. – WhjteShadow 07-12-14 09:53 PM

phần bất đẳng thức tương đương lúc đầu đó – thaophamphuongelf 07-12-14 09:09 PM

phần nào hả bạn chỗ giả sử à – WhjteShadow 05-12-14 10:22 PM

bạn có thể giải thích rõ phần đầu được không – thaophamphuongelf 05-12-14 09:27 PM

1 Đáp án