Từ giả thiết bài toán ta có:$\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$ Ta đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c$ thì ta có:$ab+bc+ac=1$ và a,b,c không âm
$P=\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{xy}+1}+...=\frac{c}{ab+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{bc+1}$
Có $\frac{c}{ab+1}+\frac{9c(ab+1)}{16}\geq \frac{3}{2}c$
Tương tự rồi cộng lại thì $P\geq\frac{15}{16}(a+b+c)-\frac{27}{16}abc=\frac{3\sqrt{3}}{4}$