Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấuGiả sử là x và y
TH1 x,y,z cùng dấu
theo BĐT $ |a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|$ $(1)$ với dấu $=$ tại $a,b,c$ cùng dấu thì $=> |x+y+z|=|x|+|y|+|z|$ $(*)$
Ta lại có Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ $(2)$
$ |x+y-z|+|x-y+z|\geq 2|x|$
$|x-y+z|+|-x+y+z|\geq 2|z|$
$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$
Từ đó => $ |x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$ $(**)$
Từ (*) và (**) => đpcm
TH2 x,y,-z cùng dấu, theo $(1)$ thì $ |x+y-z|=|x|+|y|+|z|$ $(***)$
Áp dụng $(2)$
$ |x+y+z|+|x-y+z|=|x+y+z|+|-x+y-z|\geq 2|x|$
$|x+y+z|+|-x+y+z|=|x+y+z|+|x-y-z|\geq 2|z|$
$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$
Từ đó suy ra
$|x+y+z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$$(****)$
Từ (***) và (****) suy ra đpcm
Dấu = xảy ra tại $(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y+z)\geq 0$