$x^3+y^3+z^3\geq \frac{(x+y+z)^3}{9}$$\Leftrightarrow 9(x^3+y^3+z^3)\geq (x+y+z)^3$
Ta có hằng đẳng thức:$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)$
Vậy ta cần chứng minh:
$8(x+y+z)^3\geq 27(x+y)(y+z)(x+z)$ (đúng)
Áp dụng ta có $P\geq \frac{(x+y+z)^3}{12(xy+yz+xz)}+\frac{1}{(x+y+z)^2}$
Có $3(xy+yz+xz)\leq(x+y+z)^2\Rightarrow P\geq \frac{x+y+z}{4}+\frac{1}{(x+y+z)^2}\geq \frac{3}{4}$
Dấu = khi $x=y=z=\frac{2}{3}$