PT đã cho $\Leftrightarrow x+1+(x+1)\sqrt{(x+1)^2+2}=-x-x\sqrt{(-x)^2+2}.$ $(*)$Xét hàm số $f(t)=t+t.\sqrt{t^2+2},t\in R.$ ta có:
$f(t)$ đồng biến trên $R.$ (tự chứng minh).
Do đó: $(*)\Leftrightarrow x+1=-x\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : $x=-\frac{1}{2}.$