Giả thiết phản chứng cả 3 PT đều vô nghiệm, ta có: {Δ′1=b2−ca<0Δ′2=c2−ab<0Δ′3=a2−bc<0⇒a2+b2+c2−ab−bc−ca<0(★)
Mặt khác, ta có:
a2+b2+c2−ab−bc−ca=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)22≥0(★★)
Từ (★) và (★★) suy ra giả thiết phản chứng sai nên ít nhất 1 trong 3 PT đã cho có nghiệm.