Câu $1:$
$1)$
a) Rút gọn $P = 1 - \sqrt{x} - \sqrt{1+x+\frac{x^{2}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}}$
b) Tính P khi $x = 9 - 4\sqrt{5}$
$2)$ Giải phương trình: $2x^{2} - 2x -1 = 3\sqrt{x^{2}-3}$
Câu $2:$
a) Chứng minh $6^{2n} + 19^{n} - 2^{n+1}$ chia hết cho $17$ với $\forall n$
b) Tìm cặp $(x;y)$ thỏa mãn $2x^{2} - xy - y^{2} + 3x - 5 = 0$
Câu $3:$ Cho $x, y$ thỏa mãn $(2x-1)^{2} + (2y-1)^{2} = 2$
a) Chứng minh: $0 < x+y \leq 2$
b)Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{2(x^{2}+y^{2})+2015}{x+y}$
Câu $4:$
Cho nửa đường $( O )$, đường kính $AB = 2R$. $C$ là điểm thuộc nửa đường tròn $( O )$ khác $A, B$. Các tiếp tuyến của đường tròn $( O )$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $D$. Vẽ $CH$ và $CK$ lần lượt vuông góc với $AB$ và $AD$.
a) Gọi $I$ là trung điểm của $HK$. Chứng minh rằng 3 điểm $O, I, D$ thẳng hàng.
b) Nối $B, D$ cắt $CH$ tại $E$. Tính tỷ số $\frac{CE}{CH}$
c)Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt nửa đường tròn $( O )$ tại $M, N$. Xác định vị trí của điểm $C$ để diện tích $OMCN$ đạt $max$
Câu $5:$
Trên mặt phẳng cho $2015$ đường tròn sao cho $3$ đường tròn bất kỳ trong số đó có điểm chung và không có $2$ đường nào tiếp xúc với nhau. Chứng minh khi đó tất cả các đường tròn đều có điểm chung.