Ta có $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
$\ge \sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)-\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}8$
$\Leftrightarrow \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a) \ge \sqrt{3(ab+bc+ca)^3}$
$\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{3}}{8}(a+b)(b+c)(c+a) \ge \sqrt{(ab+bc+ca)^3}$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \sqrt{ab+bc+ca}$
$\Leftrightarrow \color{red}{\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}\ge \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}} $